Lineární funkce

D: Lineární funkce je funkce daná předpisem: f: y = ax + b, kde a, b ϵ R.
Grafem lineární funkce je přímka.

Př. y = 2x + 3

Vliv koeficientů na graf lineární funkce:

a>0, funkce je rostoucí

a<0, funkce je klesající

0<|a|<1, funkce svírá s osou x úhel menší než 45°

|a|>1, funkce svírá s osou x úhel větší než 45°.

Speciální případy:

Konstantní funkce, pokud a=0, tj. f:y = b, grafem je přímka rovnoběžná s osou x.

Přímá úměrnost, pokud b=0, a <>0, tj. f:y = ax, grafem je přímka procházejícím počátkem os souřadnic.


Př. Načrtni přímku danou rovnicí: y = 3x – 5

Postup:
Přímka je dána dvěma body, zvolíme libovolné (ideálně vždy jednu souřadnici nulovou) x a y dopočteme.

Řešení:
[?,0], tj. řešíme lineární rovnici 0 = 3x – 5, x = 5/3, P1 = [5/3, 0]

[0,?], tj. získáme hodnotu rovnou absolutního členu, y = -5, P2 = [-5, 0]

Konstrukce přímky: Získané body zaneseme do soustavy souřadné a proložíme jimi přímku.


Lineární rovnice

D: ax + b = 0.
Tj. hledáme všechna x, která splňují předepsanou rovnici. Hledáme průsečík přímky s osou x.

Př. Vyřeš rovnici: 4x – 2 = 5 + 2x

Řešení:

4x – 2 = 5 + 2x x přesunu na jednu stranu, číselné hodnoty na druhou
4x – 2x = 5 + 2 sečtu levou stranu, sečtu pravou stranu
2x = 7 pravou stranu podělím počtem x na levé straně
vysledek x=7/2

Př. Vyřeš rovnici:
rovnice 1/x + 5 = -3/2x

Řešení:

uprava rovnice .x Pokud je x ve jmenovateli, pak musíme omezit definiční obor tak, aby jmenovatel nebyl roven nule, tj. D(f) = R - {0}
uprava rovnice postupujeme stejně jako v předchozím příkladu
uprava rovnice
vysledek x=7/2
vysledek x=7/2

Lineární nerovnice

D: y > ax + b
Tj. hledáme všechna x, která splňují předepsanou rovnici. Hledáme průsečík přímky s osou x.
Jako další operátory nerovnosti lze použít <, >=, <=

Nerovnici řešíme obdobným způsobem jako rovnici, při násobení záporným číslem měníme směr nerovnosti. Výsledkem je interval, ve kterém má nerovnice smysl.

Soustava dvou lineárních rovnic o dvou neznámých

ax + by + c = 0
ax + by + c = 0

Řešením jsou x, y, které splňují obě rovnice. Geometricky je řešením souřadnice průsečíku přímek daných rovnicemi.

Možná řešení:

x, y ϵ R přímky v obecné poloze
x, y nemá řešení přímky jsou rovnoběžné, různé
0 = 0 přímky jsou rovnoběžné, totožné